Определить начисляемые проценты и наращенные суммы. Определение наращенной суммы с помощью сложных процентов. Определяем Срок долга
Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением.
Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита и т.д.) понимается ее первоначальная сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.
Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами можно представить в виде арифметической прогрессии, членами которой являются величины
Р ; P + Pi = P (1 + i ); Р (1 + i ) + Pi = P(1+ 2i ) и т. д. до Р (1 + ni ).
Первый член этой прогрессии равен Р , разность - Pi, тогда последний член является наращенной суммой
S = P (1 + ni ),
где S – наращенная сумма денег;
Р - первоначальная сумма денег,
i - ставка простых процентов;
Pi - начисленные проценты за один период;
n – число периодов начисления процентов;
Pni – начисленные проценты за п периодов.
Данная формула является формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.
Множитель (1 + ni ) называется множителем наращения.Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.
Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы и суммы процентов
S = P + I ,
где I = Pni – сумма процентов.
Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях:
1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает одного года;
2) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а выплачиваются периодически.
Ставка процентов обычно устанавливается в расчете на год, поэтому при продолжительности операции менее года необходимо выяснить, какая часть процентов уплачивается кредитору. Для этого величину п выражают в виде дроби
где п - срок финансовой операции в долях года;
Y - число дней или месяцев в году (временная база) (англ. Year – год);
t - срок операции (ссуды) в днях или месяцах (англ. time – время).
В этом случае наращенная сумма вычисляется по формуле:
Возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы Y и способом измерения срока финансовой операции.
Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный, или коммерческий процент.В отличие от него точный процентполучают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366, если год високосный.
Определение числа дней финансовой операции также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность финансовой операции определяется числом месяцев и дней операции, приближенно считая все месяцы равными и содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата начала и дата окончания операции считается за один день.
Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году (прил. 2, 3).
Различные варианты временной базы и методов подсчета дней финансовой операции приводят к следующим схемам расчета процентов, применяемых на практике:
Точные проценты с точным числом дней ссуды (британская схема 365/365, когда в году считается 365 дней, полугодие приравнивается к 182 дням и длительность месяцев точная);
Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская схема 365/360, в году принимается 360 дней и точная длительность месяцев);
Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская схема 360/360, считается, что в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце).
Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то величина процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.
Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.
Точное и приближенное число дней для обыкновенных процентов связаны следующими зависимостями:
i 360 = 0,986301 · i 365 ; i 365 = 1,013889 · i 360 .
Процентные ставки не остаются неизменными во времени, в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:
где i t - ставка простых процентов в периоде с номером t , t = 1,…, k ;
п t - продолжительность t периода начисления по ставке i t , i = 1,…, k.
Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована под эту или другую процентную ставку. Процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. В случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N находится по формуле
где п 1 , п 2 , п t - продолжительности последовательных периодов реинвестирования
где i 1 , i 2 , …, i t - ставки, по которым производится реинвестирование.
При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму. В банковской практике в этой ситуации используется правило – общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм. Это касается дебетовой и кредитовой части счета. Разница состоит только в том, что кредитовые проценты вычитаются.
Для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа:
Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на девизор:
Следовательно, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается следующим образом:
Вычисление ставки доходности краткосрочных финансовых операций в виде ставки простых процентов осуществляется по формуле:
На практике часто необходимо решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной наращенной сумме, соответствующей окончанию финансовой операции, требуется найти исходную сумму. Такой расчет называют дисконтированиемнаращенной суммы.
Величина, найденная путем дисконтирования, называется современной величиной, или текущей стоимостью, наращенной суммы.
В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Современная величина денежных средств эквивалентна наращенной суммев том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной наращенной сумме. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением.
Привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, не обязательно к началу финансовой операции.
Существует два вида дисконтирования:
1. Математическое дисконтирование, которое представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче S = P (1 + ni ), то в обратной
Выражение 1/(1 + ni ) называют дисконтным множителем.Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма денег в окончательной величине долга.
Дисконт наращенной суммыравен
D = S - Р ,
где D – дисконт.
2. Банковский (коммерческий) учет. Операция учета, в том числе учета векселей, заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.
В этом случае современная величина денежных средств находится
P =S (1 - nd ),
где d – учетная процентная ставка.
Множитель (1 - nd ) называется дисконтным множителем.
Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен
D = Snd .
Простая годовая учетная ставка находится
Дисконтирование по учетной ставке проводится в большинстве случаев при условии, что год равен 360 дням.
Частным случаем является процесс банковского учета, когда срок операции выражен в днях или месяцах:
Учетная ставка может использоваться для наращения:
Операции наращения и дисконтирования противоположны, но они могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае в зависимости от применяемой ставки можно различать прямую и обратную задачи (таблица 2.1).
Таблица 2.1 - Прямая и обратная задачи
Расчеты с использованием сложного процента предполагают, что начисленные на первоначальную сумму проценты к этой сумме присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится на уже наращенную сумму. Сумма, полученная в результате накопления процента, называется наращенной, или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет. Первоначальная сумма вклада называется также текущей стоимостью.
Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам еще называют капитализацией.
Расчет наращенной суммы по сложным процентам осуществляется с помощью формулы:
n
FV = PV * (1 +i ) , (1.1)
- FV – наращенная (будущая) сумма;
- PV - первоначальная (текущая) сумма, на которую начисляется процент;
- i - ставка сложных процентов в виде десятичной дроби:
- п - число лет, в течение которых начисляются проценты.
Пример №1. Клиент банка внес на срочный депозит 30 тыс. рублей под 10% годовых. Начисление процентов осуществляется один раз в году. Определить величину наращенной суммы через четыре года.
FV = PV * (1 +i ) = 30000 * (1 + 0, 1) = 30000*1, 4641 = 43923 р.
В соответствии с договоренностью клиента и банка начисление процентов может осуществляться гораздо чаще, чем один раз в год, - по полугодиям, кварталам, помесячно, подекадно и даже ежедневно. В этих случаях для определения наращенной суммы можно использовать формулу наращения (1.1), где величина п будет означать общее число периодов начисления процентов, а ставка i - процентную ставку но уже за соответствующий период (полугодие, квартал, месяц и т. д).
В большинстве случаев указывается не квартальная или месячная ставка, а годовая, называемая также номинальной. Кроме того, указывается число периодов (m) начисления в году. В этом случае для расчета наращенной суммы может использоваться формула:
n * m
FV = PV * (1 + j / m ) , (1.2)
- J – номинальная процентная ставка;
- m – число периодов начисления процентов в году;
- n - число лет.
Пример №2. Клиент банка внес на срочный депозит 30 тыс. рублей на три года при номинальной ставке 10% годовых. Начисление процентов осуществляется ежеквартально. Определить величину наращенной суммы.
n * m 3 * 4
FV = PV * (1 + j / m ) = 30000 * (1 + 0, 1 / 4) = 30000 * 1, 3449 = 40347 р.
При решении такого рода задач может возникнуть вопрос: какую годовую ставку процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и в случае при m- разовом (ежемесячном или ежеквартальном) начислении процентов в году по ставке j / m.
В связи с этим кроме номинальной ставки существует понятие эффективной, или действительной, процентной ставки iэ , которая определяется по формуле:
m
iэ = (1 + j / m ) - 1 , (1.3)
iэ - эффективная ставка сложных процентов.
Пример №3. Клиент обратился в банк по поводу размещения собственных свободных ресурсов, после чего ему стало известно, что банк при использовании номинальной ставки 10% осуществляет ежеквартальное начисление процентов. Какова эффективная ставка сложных процентов при условии получении такой же наращенной суммы, как и при использовании номинальной ставки j = 10%?
iэ = (1 + j / m ) - 1 = (1 + 0,1 / 4) - 1 = 1.1038 – 1 = 0,1038 (10,38%)
Процесс капитализации инвестированных средств - мощное средство сохранения и увеличения реальной стоимости факторов производства. Для иллюстрации данного утверждения можно воспользоваться мнемоническим правилом величины 70 (в некоторых изданиях финансово-экономической направленности отмечается как «Правило 72 – х»), которое позволяет приблизительно определить период удвоения (только удвоения) первоначальной суммы при заданных процентных ставках.
n = 70 / i , (1.4)
- i - ставка сложных процентов (в %)
- n – период (для процентной ставки при заданных условиях).
Примечание . Правило величины 70 рекомендуется применять при ставках в диапазоне 3 – 17%%. Правило величины 70 может использоваться также для оценки инфляции.
Пример №4. Собственник денежного капитала размещенного в банке желает знать, сколько лет потребуется для удвоения капитала при начисляемой годовой процентной ставке в размере 10%?
n = 70 / i = 70 / 10 = 7 лет.
С помощью правила величины 70 можно решать и обратные задачи. Так при заданном периоде, который соответствует удвоению капитала можно рассчитать требуемый уровень процентной ставки.
Задание №1
А) В целях обеспечения взаимных интересов банк и производственно-коммерческая фирма договорились об установлении неснижаемого остатка на расчетном счете сроком на ____ года (лет) в объеме ____ тыс. рублей. При этом банк обязуется периодически начислять ______ процентов годовых. Определить:
Наращенную сумму;
Эффективную ставку сложных процентов.
Значения величин в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Исходные данные
Б) Определить:
Среднегодовой темп прироста цен;
Среднегодовой индекс цен,
если за ____года (лет) цены увеличились в два раза.
Значения величин в таблице 1.2.
Таблица 1.2
Исходные данные
. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.
Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:
P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),
S - наращенная сумма на конец срока ссуды,
п - срок, число лет наращения,
i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.
Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна
(4.1)
Процентыза этот же срокв целом таковы:
(4.2)
Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет
(4.3)
Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.
Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).
Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.
Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.
Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.
Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае
Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем
(4.4)
· Пример 4.1
2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.
Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,
где
· Пример 4.2
3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.
(4.5)
где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.
· Пример 4.3
4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:
(4.6)
Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:
,(4.7)
где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.
Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.
При выборе
метода расчета следует иметь в виду, что мно
житель наращения по смешанному методу
оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п
<
1 справедли
во соотношение 
Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.
· Пример 4.4
5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:
1) для срока меньше года простые проценты больше сложных
2) для срока больше года
3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу
Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :
1) для простых процентов
2) для сложных процентов
Формулы дляудвоениякапитала имеют вид:
Формулы наращенной суммы
Рассмотрим наращение для различных случаев начисления рент.
1. Обычная годовая рента.
Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке i . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины так как на сумму R проценты начислялись в течение(п - 1) года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются.
Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии
в которой первый член равен R , знаменатель (1+ i ), число членов п. Эта сумма равна
(1)
где
(2)
называетсякоэффициентом наращения ренты . Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i .
Наращенная сумма ренты пренумерандо в (1 + i ) раз больше постнумерандо и при m = p =1
(3)
Пример 1.
Для создания пенсионного фонда в банк ежегодно выплачивается рента постнумерандо в размере 10 млн. р.. На поступающие платежи начисляются проценты по сложной годовой ставке 18%. Определить размер фонда через 6 лет.
Решение.
По формуле (1) имеем:
млн. р.
Ответ. Пенсионный фонд через 6 лет будет составлять 99,42 млн. р.
2. Годовая рента, начисление процентов m раз в году.
Пусть платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j / m , где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
Если прочитать предыдущую строку справа налево, то получимгеометрическую прогрессию, первый членом которой R, знаменатель (1+ j / m ) m , число членов п. Сумма членов этой прогрессии будет наращенной суммой ренты. Она равна
(4)
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле
(5)
Пример 2.
В условиях примера 1 принять, что проценты банком начисляются ежеквартально по номинальной ставке 18% годовых. Сделать вывод, какой вариант начисления процентов выгоден кредитору.
Решение.
По формуле (4) имеем
= 97, 45 млн. р.
Ответ. Кредитору выгоден вариант примера 2.2., чтобы на ренту начислялись проценты ежеквартально, при этом размер фонда будет составлять 97,45 млн. р.
3. Рента p -срочная, m = 1.
Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.
Если R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R / p . Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,
у которой первый член R / p , знаменатель (1+ i ) 1/ p , общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии
(6)
где
(7)
коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1.
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:
(8)
Пример 3.
Господин Иванов вносит в банк в конце каждого месяца по 500 р.. На поступающие суммы платежей начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке22%. Определить размер начисленной суммы через 8 лет.
Решение.
По форомуле (6) найдем размер начисленной суммы:
S = 500 [ (1 + 0,22) 8 - 1 ] / [ (1 + 0,22) 1/8 - 1 ] = 52,806 тыс. р.
Ответ. Размер начисленной банком суммы господину Иванову через 8 лет составит 52,806 тыс. р.
4. Рента p -срочная, р = т.
В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р = т . Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы воспользуемся аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем
(9)
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:
(10)
Пример 4.
Господин Петров должен отдать долг в размере 200 тыс. р. Для того, чтобы собрать эту сумму он планирует в течение 3-х лет в конце каждого полгода вносить в банк одну и ту же сумму и на нее каждые полгода начисляются сложные проценты по годовой ставке 15%. Какова должна быть величина вносимых господином Петровым полугодовых вкладов при полугодовом начислении процентов?Рассмотреть случай, когда в банк вносится сумма один раз в конце каждого года и начисление процентов производится по той же сложной процентной ставке.
Решение.
Из(9) найдем сумму (R ), которую необходимо вносить в банк каждые полгодапри полугодовом начислении сложных процентов:
R = S j / [ (1 + j/m ) mn - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15/ 2) 2 × 3 - 1 ] = 55,228 тыс. р.
Из формулы (1) найдем сумму, которую необходимо вносить в банк каждый год при годовом начислении сложных процентов:
R = S j / [ (1 + j ) n - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15) 3 - 1 ] = 57,692 тыс. р.
Ответ. Господину Петрову необходимо вносить в банк каждые полгода иполугодовом начислении сложных процентов сумму, равную 55,228 тыс. р. и сумму в 57,692 тыс. р. при ежегодном вкладе и годовом начислении сложных процентов. Первый вариант вклада для него более выгоден.
5. Рента р -срочная, p ³ 1 , m ³ 1.
Это самый общий случай р -срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно р ¹ т.
Первый член ренты R / p , уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
Число членов п p . В результате получаем наращенную сумму
(11)
Наращенная сумма ренты пренумерандо определяется по формуле:
(12)
Пример 5.
Предприятие создает страховой фонд, для чего направляет в банк платежи в размере 100 тыс. р. в конце каждых 4-х месяцев, начислениесложных процентов банк производит 1 раз в полгода по годовой ставке 18%. Определить размер страхового фонда через 10 лет.
Решение.
По формуле (11) найдем:
тыс.руб.
Ответ. Размер страхового фонда предприятия через 10 лет составит 7790,86тыс.р.
ВАРИАНТ 9
РЕШЕНИЕ.
n - срок ссуды.
I = 2000*0,5*0,3=300 руб.
FV=2000+300=2300 руб.
РЕШЕНИЕ.
Множитель наращения: .
РЕШЕНИЕ.
S = P (1 + n∙i),
РЕШЕНИЕ.
.
РЕШЕНИЕ.
Наращенная сумма после 4 лет:
РЕШЕНИЕ.
S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.
Ответ: 4400 руб.
РЕШЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ .
Ответ: 2109 руб.
РЕШЕНИЕ.
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*1,756=3512 руб.
Ответ: 3512 руб.
РЕШЕНИЕ.
При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:
Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*1,9=3800 руб.
Ответ: 3800 руб.
РЕШЕНИЕ.
Рассчитаем дисконтированный множитель:
Рассчитаем дисконт по точным процентам с точным числом дней ссуды:
D=200000*1/(1+0,3)*120/365=50580руб.
Рассчитаем дисконт по обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды:
D=200000-200000*(1+0,3*120/365)= 19726 руб.
Ответ: 50580 руб., 19726 руб.
Задача 3.2.2. Определить сумму, которую необходимо положить в банк, чтобы при начислении на нее процентов по сложной процентной ставке – 30% годовых, получить через 3 года наращенную сумму в размере 200000 р., а также сумму дисконта.
РЕШЕНИЕ.
Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
где d c - сложная годовая учетная ставка.
Дисконт в этом случае равен
Р=200000*(1-0,3) 3 =68600 руб.
D=200000-68600=131400 руб.
Ответ: 131400 руб.
Задача 3.2.3. Вексель выдан на 200000 р. с уплатой 20.09. Владелец векселя учел его в банке 120 дней по учетной процентной ставке – 30 %. Определить сумму, которую получит держатель векселя, если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с приближенным числом дней ссуды, а также суммы дисконта.
РЕШЕНИЕ.
Учетная ставка рассчитывается отношением наращения (F-P) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине F.
Определим сумму, которую получит держатель векселя по формулам:
Где P-
F
n-
d- простаяучетная ставка;
t -
Т- количество дней в году.
а) если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды:
F=200000/(1-120/365*0,3)=221884 руб.
Сумма дисконта:
D=221884-200000=21884 руб.
б) если проценты начисляются обыкновенные с приближенным числом дней ссуды:
F=200000/(1-120/360*0,3)= 222222 руб.
Сумма дисконта:
D=222222-200000=22222 руб.
Ответ: 221884 руб., 21884 руб., 222222руб.,22222 руб.
Задача 3.2.4. Предприятие предоставило покупателю отсрочку платежа сроком на 3 года и учло платежное обязательство на сумму 200000 р. в банке по учетной ставке 30 % годовых. Определить сумму, которую получит на руки держатель платежного обязательства.
РЕШЕНИЕ.
Рассчитаем сумму, которую получит держатель платежного обязательства по формуле:
Где P- вложенная сумма (сумма, которую получает владелец векселя при его учете);
F – наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);
n- количество периодов продолжительности финансовой операции;
d- простаяучетная ставка;
t - продолжительность финансовой операции в днях;
Т- количество дней в году.
Р=200000*(1-0,3*3*365/365)=20000 руб.
Ответ: 20000 руб.
РЕШЕНИЕ.
При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:
Где S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты;
t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу;
K – количество дней в календарном году (365 или 366);
P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств.
Рассчитаем количество дней начисления процентов:
50000=2000+(2000*0,3t)
Ответ:80 дней.
Задача 3.3.2. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.
РЕШЕНИЕ.
Формула для расчета наращенной суммы вклада по методу простых процентов имеет вид:
К н =К о *(1+р*n),
Где К н -наращенная сумма по вкладу;
К о -первоначальная сумма вклада;
р-проценты по вкладу;
n- количество лет начисления процентов.
Рассчитаем количество лет начисления процентов:
50000=2000*(1+0,3*n)
Ответ: 80 дней
Задача 3.3.3. Первоначальная сумма в размере 2000 р. будет вложена на депозитный счет под 30 % годовых. Определить через какой срок наращенная стоимость этой первоначальной суммы составит 50000 р.
РЕШЕНИЕ.
Наращенная сумма рассчитывается используя формулу:
где Р – сумма вклада;
i – процентная ставка;
d – количество дней.
Рассчитаем срок вклада:
50000=2000*0,3*d
Ответ: 83 дня.
Задача 3.3.4. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.
РЕШЕНИЕ.
Определим доход:
I= 50000 – 2000=48000руб.
S - наращенный капитал
Теперь определим срок вклада:
d=100*48000/(30*2000)=80 дней
Ответ: 80 дней.
3.4. Определение наращенной и дисконтированной стоимости финансовой ренты (аннуитета).
Задача 3.4.1. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в конце каждого года платеж в размере 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4 года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.
РЕШЕНИЕ.
Расчет наращенной суммы выполним по формуле:
F = P*(1 + n * d)
F =2000*(1+0,3*4*365/365) =4400 руб.
Ответ: 4400 руб.
Задача 3.4.2. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в начале каждого года 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.
РЕШЕНИЕ.
i – годовая процентная ставка;
S = 2000* (1 + 0,3 * 3*365/365) = 3800 руб.
Ответ: 3800 руб.
Задача 3.4.3.Страховая компания заключает договор с предприятием на 4 года. Страховые взносы предприятия в размере 2000 р. страховая компания помещает в банк под 30% годовых с полугодовой капитализацией. Определить сумму, которую получит страховая компания.
РЕШЕНИЕ.
Вычисления произведем по следующей формуле:
где S – наращенная стоимость кредита;
P – настоящая стоимость кредита;
i – годовая процентная ставка;
n – период начисления процентов в годах.
S = 2000* (1 + 0,3 * 0,5*4*365/365) = 3200 руб.
Ответ: 3200 руб.
Задача 3.4.4. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в конце каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.
РЕШЕНИЕ.
S = P* 
,
где
n – число лет.
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*(1/(1-0,3) 3)= 5831 руб.
Дисконтированная сумма равна:
D=5831-2000=3831 руб.
Ответ: 3831 руб.
Задача 3.4.5. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в начале каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.
РЕШЕНИЕ.
Таким образом, в общем виде формула наращенной суммы может быть записана в виде:
S = P* ,
где - коэффициент наращения при вычислении сложных процентов;
d – учетная ставка сложных процентов;
n – число лет.
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*(1/(1-0,3) 2)= 4082 руб.
Дисконтированная сумма равна:
D=4082-2000=2082 руб.
Ответ: 2082 руб.
РЕШЕНИЕ.
Рассмотрим планирование фонда с постоянными срочными взносами. Предположим, что создание погасительного фонда производится путем внесения в банк ежегодных взносов R, на которые начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит начисление процентов на величину долга по ставке g. При начислении на величину долга простых процентов срочная уплата будет равна:
где -срочная уплата в период t;
D- величина долга.
При начислении на величину долга сложных процентов срочная уплата рассчитывается по формуле:
где - процентный платеж, исчисленный по сложным процентам.
Величину для расчетного периода вычисляют по формуле:
g - процентная ставка, начисляемая на основной долг.
Подставив значение получим:
200000=(1+0,26) 2 *0,26/R
200000=1,58*0,26/R
0,26/R=126582 руб.
Ответ: 32911 руб.
Задача 3.5.6. Определить размер ежегодного платежа, вносимого в начале года в течение трех лет, для формирования страхового фонда в размере 200000 р., если размер сложной процентной ставки – 30 %.
РЕШЕНИЕ.
200000=(1+0,3) 3 *0,3/R
200000=2,197*0,3/R
R=131820 руб.
Ответ: 131820 руб.
Задача 3.5.7. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в конце года.
РЕШЕНИЕ.
R=Ai/(1-1/(1+i) n)
R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 4)=924 руб.
Ответ: 924 руб.
Задача 3.5.8. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в начале года.
РЕШЕНИЕ.
Размер ежегодных погасительных платежей:
R=Ai/(1-1/(1+i) n)
R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 3)=1101 руб.
Ответ: 1101 руб.
Задача 3.5.9. Предприятие ежегодно в конце года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.
РЕШЕНИЕ.
1000000=20000*(1+0,3*n)
Ответ: 38 дней.
Задача 3.5.10 Предприятие ежегодно в начале года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Ссудная процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.
РЕШЕНИЕ.
1000000=20000*(1+0,3*(n-1))
Ответ: 37дней.
Задача 3.5.11. Предприятие планирует взять кредит в размере 1000000 р. под годовую процентную ставку равную 30 %. Ежегодный платеж в конце года составит 20000 р. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой будет возвращена вся сумма кредита.
РЕШЕНИЕ.
Поскольку проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо- это обычная рента. Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:
FVA=R*((1+i*n)-1)/i
1000000=20000*((1+0,3*n)-1)/0,3
Ответ: 50 дней.
ВАРИАНТ 9
Определение наращенной суммы по простым и сложным процентам с использование различных схем начисления процентов.
Задача 3.1.1. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма в размере 2000 р. была помещена на депозитный счет на период 0,5 лет под 30 % годовых. Наращение осуществляется по простой ссудной процентной ставке.
РЕШЕНИЕ.
К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения:
I - проценты за весь срок ссуды;
РV - первоначальная сумма долга;
FV - наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;
i - ставка наращения процентов (десятичная дробь);
n - срок ссуды.
Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то i означает годовую процентную ставку.
Соответственно каждый год приносит проценты в сумме: Pv×i.
Начисленные за весь срок проценты составят: I = PV×ni.
I = 2000*0,5*0,3=300 руб.
Наращенная сумма, таким образом, находится по формуле:
FV = РV + I = РV + PV×ni = РV(1 + ni).
FV=2000+300=2300 руб.
Ответ: Наращенная сумма составляет 2300 руб.
Задача 3.1.2. Определить наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя, если ссуда выдается на 0,5 лет в размере 2000 р. Наращение осуществляется по простым процентам по учетной ставке ‒ 30 % годовых.
РЕШЕНИЕ.
Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. Например, при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга:
Множитель наращения: .
S=2000*1/(1-0,5*0,3)= 2353 руб.
Ответ: Наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя равна 2353 руб.
Задача 3.1.3. Кредит в размере 2000 р. выдан с 22.03 по 14.11. включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
РЕШЕНИЕ.
В нашем случае для годовой ставки i простых процентов наращенная сумма S:
S = P (1 + n∙i),
где 1 + n∙i - множитель наращения, а годовая ставка i простых процентов (rate of interest).
В нашем случае срок финансового соглашения n измеряется не в годах, а в днях t, то в (1) в качестве n следует взять, где K - так называемая временная база, т.е. число дней в году, K =360,365(366).
Если временная база K = 360 дней (12 месяцев по 30 дней), то говорят, что в формуле используют обыкновенные, или коммерческие проценты.
а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант
(K = 365(366)) дает самые точные результаты.
S = 2000*(1+0,3*238/365) =2391 руб.
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод (K = 360), иногда называемый банковским, распространен в ссудных операциях коммерческих банков. Он дает несколько больший результат, чем предыдущий метод.
S = 2000*(1+0,3*238/360) = 2397 руб.
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 2000*(1+0,3*235/360) =2392 руб.
Ответ: 2391 руб., 2397 руб., 2393 руб.
Задача 3.1.4. Кредит в размере 2000 р. выдан 22.03 по 14.11 включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
РЕШЕНИЕ.
При расчете обычно полагают, что К = 360 (12 месяцев по 30 дней) или К = 365, 366 дней. Если К = 360 дней, проценты называются обыкновенными. В этом случае формула примет вид:
.
При использовании действительной продолжительности года 365(366) получают точные проценты и в этом случае формула примет вид:
а) Точные проценты с точным числом дней ссуды:
S=2000*(1+238/365*0,3)= 2391 руб.
б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
S=2000*(1+238/360*0,3)=2397 руб.
в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S=2000*(1+235/360*0,3)=2392 руб.
Ответ: 23945 руб., 2397 руб., 2393 руб.
Задача 3.1.5. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Определить наращенную сумму по сложным процентам через 4 года.
РЕШЕНИЕ.
Наращенная сумма после 4 лет:
S = 2000*(1 + 0,3) 4 = 5712 руб.
Ответ: Наращенная сумма по сложным процентам составит 5712 руб.
Задача 3.1.6. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была выдана в долг на 4 года. Определить наращенную сумму, которая должна быть возвращена через 4. года, если начисление процентов осуществляет по учетной ставке 30 % годовых.
РЕШЕНИЕ.
Наращенная сумма, которая должна быть возвращена через 4 года:
S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.
Ответ: 4400 руб.
Задача 3.1.7. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена на депозитный вклад 1 апреля на квартал под 30% годовых. Согласно условиям контракта предусмотрено ежедневное начисление простых процентов. Определить наращенную сумму, используя начисление точных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.
РЕШЕНИЕ.
Простые проценты считаются по такой формуле:
а) расчет наращенной суммы по точным процентам с точным числом дней ссуды:
В=2000*(1+0,3*90/365)=2148 руб.
б) Расчет обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:
В=2000*(1+0,3*90/360)=2150 руб.
в) расчет обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды:
В=2000*(1+0,3*80/360)=2133 руб.
Ответ: 2148 руб., 2150 руб., 2133 руб.
Задача 3.1.8. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Согласно контракту предусмотрено ежедневное начисление сложных процентов. Определить наращенную сумму через 4 года.
РЕШЕНИЕ .
Расчет сложных процентов производится по следующей формуле:
Для вкладов со сложным процентом важной часть является периодичность начисления процентов.
В=2000*(1+0,3/90) 16 =2109 руб.
Ответ: 2109 руб.
Задача 3.1.9. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый квартал ‒ 30 % годовых; в каждом следующем квартале ставка повышается на 0,4%. Определить наращенную сумму, если контракт подписан на одни год, а первоначальная сумма составляет 2000 р.
РЕШЕНИЕ.
При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:
Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:
1 + 1*0,3 + 0,4*0,34 + 0,4*0,38 + 0,4*0,42 = 1,756 раз
Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,756 раза больше первоначальной.
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*1,756=3512 руб.
Ответ: 3512 руб.
Задача 3.1.10. Контракт подписан на 4 года и предусматривает следующий порядок начисления сложных процентов: 1 год ‒ 30 % годовых; в каждом последующем полугодии процентная ставка увеличивается на 0,05%. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма составляет 2000 р.
РЕШЕНИЕ.
При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:
Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:
1 + 1*0,3 + 0,5*0,35 + 0,5*0,4 + 0,5*0,45 =1,9 раз
Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,9 раза больше первоначальной.
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*1,9=3800 руб.
